ANÁLISIS MATEMÁTICO Y APLICACIONES DE LA MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR, SEDE MANABÍ, 2020
INTEGRANTES
- FABIAN ANDRES BERMELLO MOREIRA
- ENZO ROMARIO RODRIGUEZ ABAD
DOCENTE: ING. ANGEL ENRIQUE ARROBBA CARDENAS
Informe de Investigación previa
ECUACIÓN DE LA RECTA
INTRODUCCIÓN
Desde épocas remotas el ser humano ha
aplicado los conocimientos de la geometría en la solución de problemas
relacionados con su entorno. Por ejemplo, en el año 250 A.C., con algunas
nociones de geometría, el matemático griego Eratóstenes calculo la medida del
radio de la Tierra (Benitez, 2014, p.9)
La geometría
analítica es
una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras
geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación,
etcétera. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de
álgebra.
Las gráficas se construyen
utilizando las llamadas coordenadas cartesianas. Dibujamos dos rectas
perpendiculares denominadas ejes de coordenadas, una horizontal que se denomina
eje x y otra vertical que se denomina eje y, intersecándose en un punto O llamado
origen. Un plano con tales ejes de coordenadas se denomina plano cartesiano o
simplemente plano xy.
PENDIENTE DE UNA RECTA
Para poder determinar una pendiente de una recta nos guiamos por lo principal que en este caso sería el grado de inclinación de la recta, también podemos tomar como datos 2 puntos de referencias.
Las coordenadas de las abscisas (x) se denominan recorrido o distancia, las coordenadas de las ordenadas (y) se denominan elevación. No importa que pares de puntos escojamos la elevación es igual a 2 veces el recorrido
Desplazamiento x2 – x1 Elevación y2 – y1.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Una de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano
cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos
puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
La
pareja (x, y) representan a un punto en el plano, x (el primer elemento) se
llama la abscisa o coordenada x, y (el
segundo elemento) se denomina la ordenada o coordenada y.
Cuando
los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1). Cuando los puntos se
encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2).
FORMULA DE LA DISTANCIA
“Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son
dos puntos cualesquiera en el plano, entonces la distancia (d) entre P y Q está dada por”. (Jagdish & Lardner , 2009, p.124)
EJEMPLO
Encuentre la distancia entre los puntos siguientes, considere el par ordenado P1(-2,3) y P2(3,3).
Vamos
a tomar para este ejemplo P1P2 (P1 como punto inicial y P2 como punto final).
LINEAS
RECTAS (Y= MX+B)
Una ecuación
lineal puede expresarse en la forma y=mx+b. una ecuación con dos incógnitas, tales
como x y y, es el conjunto de todos aquellos puntos cuyas coordenadas (x, y)
satisfacen la ecuación. Dibujar la gráfica
exacta de una ecuación con dos incógnitas, es por lo regular, una tarea
imposible que requeriría graficar un número infinito de puntos. En la práctica,
se elige un número suficiente de puntos que satisfagan la ecuación dada y que
exhiban la naturaleza general de la gráfica. Estos puntos se grafican y se unen
mediante una curva suave. Cuando encontramos los puntos que satisfacen una
ecuación determinada, a menudo conviene despejar una de las incógnitas de la
ecuación en términos de la otra.(Jagdish &
Lardner , 2009, p. 127).
Por ejemplo, si resolvemos la ecuación 2x -y -3 =0 para y en términos de x, tenemos
Ahora, si damos valores a x, podemos calcular los valores correspondientes para y. Digamos si
sí x= 1, y= 2(1) -3 =-1
sí x= 3, y= 6 - 3 = 3; etc.
EJEMPLO
Dibuje la gráfica de la
ecuación 2x- y -3 = 0.
Solución Resolviendo la ecuación dada
para y, tenemos y= 2x - 3
Los valores de (y) que
corresponden a distintos valores de (x) se dan en la tabla. Graficando estos
puntos, observamos que están situados sobre una línea recta. Esta línea es la
gráfica de la ecuación dada.
y= 2x - 3 
ECUACIONES DE LA RECTA
Las ecuaciones de la recta forman tales sistemas lineales que
los podemos resolver de forma algebraica, de manera que un sistema ecuaciones
lineales con dos variables (x; y) consta con dos ecuaciones
expresadas de la siguiente manera:
a1x + b1y=
1c a2x+b2y=2c
La solución por
el uso de métodos algebraicos requiere la eliminación de una de las variables,
x o y, de las dos ecuaciones; esto nos permite determinar el valor de la otra
variable. La eliminación de una de las variables puede lograrse por sustitución o sumando un múltiplo
apropiado de una ecuación a la otra (método
de eliminación). (Jagdish & Lardner ,
2009, p. 149-150).
PUNTO-PENDIENTE: Este tipo de ecuación lineal nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto de ella. Se expresa con la siguiente ecuación (y2-y1) =m(x2-x1) la cual la hallamos del despeje de la fórmula de la pendiente(m), nos ayuda a encontrar una ecuación cuando nos han dado un punto de la pendiente y la pendiente, el punto en encontrado en ella se le denomina punto-pendiente.
ORDENADA AL ORIGEN: La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales, la recta se interseca con el eje y. Tiene la siguiente estructura general. Y=mx+b
- GENERAL:La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En el caso de la ecuación vertical, no puede escribirse ni en forma punto-pendiente, ni en forma pendiente-ordenada al origen. Esto se debe a que la recta vertical no tiene definida la pendiente, su ecuación es la siguiente:
donde 
,
y los coeficientes 
no pueden ser cero
simultáneamente
- Calcula la ecuación en su forma general de la recta que pasa por el punto P(5,4) y es paralela a la recta: . 3x+2y-5=0
Ya conocemos un punto por donde pasa la recta. Nos
falta conocer la pendiente. Como ambas rectas son paralelas, la pendiente de la
recta que buscamos es igual a la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos. Para
calcular la pendiente de las rectas, vamos a expresar la ecuación %
en la forma pendiente-ordenada al
origen
BILBLIOGRAFIA
https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+d%5Capprox+7.810&bg=ffffff&fg=000&s=
https://eva.pucem.edu.ec/pluginfile.php/53554/mod_resource/content/1/matematicas-aplicadas-a-la-ad
https://concepto.de/geometria-analitica/#ixzz6MsF8M4w4
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/forma-general/
https://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U04_L1_T4_text_final_es.html
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/calculo/pendiente-recta.html
DIAPOSITIVAS
Aplicaciones de la matemática en la solución de problemas de la especialidad, usando el A.B.P
Problema #1
1. (Inversiones) Un colegio destina $60 000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones a fondos de gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10.5%.
¿Cuánto deberían invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?
Datos:
X= 8%
Y= 10,5%
Ecuación:
0,08x + 0,105= 5000
X= 60 000 -y
Resultado:
0, 8 (60000- y) + 0,105 y= 5000
4800- 0,08y + 0,105y= 5000
0,025y = 5000 – 4800
Y= 200/0,25
Y= 800
X= 60 000 – 8000
X= 52 000
La inversión es:
8%= 52 000
10,5%= 8000
Total de inversión= 60 000
2) (Mezclas) Diez libras cacahuetes que tienen un precio de $0,75 por libra y 12 libras de nueces valen $0.80 por libra se mezclan con pacana que tiene un valor de $1.10 por libra para producir una mezcla que vale $0.90 por libra.
¿Cuántas libras de panaca deben utilizarse?
Datos:
10 lb cacahuate= $0,75 x lb
12 lb nueces= $0,80 x lb
X= lb pacana= $ 1.10 x lb
Procedimiento:
¾* 10 + 8/5* 12+ 11/10* x= 9/10* (10+12+x)
¾ + 24/25+ 11/10*x = 9/10 *(22 +x)
17,1 + 11/10*x= 19.8 + 0.90*X
1,10*x – 0,90*x = 19.8- 17,1
0.2*x= 2,7
X= 2,7/ 0,2
· X= 13,5 = lb de pacana
Resolución:
· Se utilizaría 13,5 lb de pacana
3. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades
Solución:
Sea X el numero de unidades que la fabrica debe producir y vender
Utilidades= Ingresos – Costos
Utilidad (U)= $30x-($22x+$12.000)
U= $30x-$22x-$12.000
U= $8x-$12.000
Para que la compañía tenga utilidades
Utilidad > 0
8x-12.000 > 0
8x > 12.000
X > 12.000/8
X > 1.500
R: La fabrica debe producir al menos 1.500 artículos para tener utilidades.
4. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15,000 y costos por unidad de $100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana, con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000.
Solución:
Utilidades= Ventas – Costos
Utilidades= 1.000
Utilidad >150x-100x-15.000
Utilidad > 50x-15.000
1000+15.000 > 50x
50x > 16.000
X > 16.000/50
X ≥ 320.
R: El número de aparatos de fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de tener utilidades semanales de al menos 1.000 es 320
5. (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $1500 al mes, pero sólo le costará $1.70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas? 30. (Decisiones sobre contratación de maquiladores)
Solución
Precio de venta= 2.5x
Costo fijo= 1.500$
Costo Variable= 1.7x
Precio de venta= Costo fijo + Costo Variable
2.5x < 1.500$+1.7x
2.5x - 1.7x < 1.500$
0.8x <1.500
X <1.500/ 0.8
X < 1875.
R: Debería utilizar 1875 correas para justificar la fabricación de sus mismas correas.
Problema#2
La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto (-3,2) es 5. Determine la abscisa del punto. Compruebe sus resultados en Geogebra.
Punto 1 (x, 6)
Punto 2 (-3, 2)
D=√(x1 - x2) ² + (y1 - y2) ²
5=√ [(x--3) ^2+ (6-2) ^2]
5=√ [(x+3) ^2+4^2]
5=√(x^2+6x+9+16)
5^2=√(x^2+6x+25)
25=x^2+6x+25
0=x^2+6x
0=x(x+6)
X= -6
X= 0
Problema#3
Se sabe que 0° Centígrados equivalen a 32 Farenheit. Por otra parte, 100 Centígrados equivalen a 212 Farenheit. Encuentra la ecuación que sirve de conversión entre una escala de temperatura y otra. Dejar en la forma pendiente-ordenada al origen.
Problema#4
1. Graficar en geogebra la función y comprobar que es una función continua
x
0.8
0.9
0.9999
0.999999
f(x)
2.8
2.9
2.9999
2.999999
A medida que x se acerca a 1, f(x) está cada vez más cerca de 3. Como los valores de x son menores que 1 decimos que x se acerca a 1 por la izquierda.
Cuando x se acerca a 1 por la derecha, serán valores mayores que 1. Por ejemplo, demos valores a x de: 1.5, 1.1, 1.01 1.0001
x
1.5
1.1
1.01
1.0001
f(x)
3.5
3.1
3.01
3.0001
2.-Comprobar en GeoGebra que la función es discontinua y en que punto esta función se discontinua
En -2,1 es el punto indefinido
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